Physique, lisible pour tous
Équilibre Thermique Planète

Équilibre thermique des planètes

“Le temps est une piscine trouée. Plus pleine est elle, plus vite elle se vide. (Lao Tzu)”

Toute piscine qui est simultanément remplie et vidée tend à adopter un niveau d’eau stable et constant, quelque soit la différence initiale de débit entre l’arrivée et la sortie de l’eau. On suppose:

• un sortie d’eau par le bas, dont le débit croît avec la hauteur de la colonne d’eau, car $\Delta P =\rho g \Delta h$.
• des parois de hauteur infinie, donc aucun débordement possible.

“Plus pleine = vide plus vite”. Ce comportement où l’effet vient s’opposer à sa cause est nommée rétroaction négative ou rétro-inhibition. Les rétroactions négatives sont essentielles pour la stabilité des systèmes en équilibre dynamique autant en physique, qu’en chimie et en biologie.

Si le système est légèrement perturbé, il adoptera de lui-même un nouvel équilibre. Équilibre qui sera légèrement différent du premier. Voyons voir…

Piscine à l’équilibre

Le débit de remplissage est le même que le débit de vidange: le niveau est constant.

Piscine déséquilibrée qui retrouve un nouvel équilibre

Subitement vous réduisez l’ouverture au bas. Le niveau monte simplement… vidéo entennoir Jusqu’à ce que de nouveau débit in = débit out:

Piscine = Planète

Volume d’eau = Chaleur contenue dans la planète (Joules)

Niveau d’eau = Température de la planète (Kelvin)

Débit de remplissage = puisssance incidente provenant du soleil ($Js^{-1}m^{-2}$)

Débit de vidange = puissance rayonnée par la planète ($J/sm^{2}$)

Le théorème de la piscine appliqué aux planètes permet d’affirmer:

Toute planète finit par adopter une température tel que la puissance reçue au sol par le soleil équivaut à la puissance rayonnée par sa propre surface. On écrit $I_{in}=I_{out}$

Une Planète rayonnante

La puissance rayonnée par la planète est celle associée au rayonnement électromagnétique (REM) que tout corps chaud émet. Ce REM est dû à l’accélération associée à la vibration thermique des atomes. Les physiciens nomment ce REM le rayonnement du corps noir (ne cherchez pas à savoir pourquoi).

Une des deux formules présentées dans la section 5.3 est celle qui donne la puissance rayonnée par $m^{2}$ de surface chaude:

$I$ est en $W/m^{2}$ et $\sigma$ est appelée constante de Stefan-Boltzmann (sa valeur est $5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$). On appelle $I$ simplement intensité mais certains utilisent les termes exitance ou émittance. “L’exitance correspond à une émission d’énergie rayonnée. Pour désigner l’énergie rayonnée qui frappe une surface, on parle d’éclairement (lumineux ou énergétique).” Wikipedia

Le théorème de la piscine énoncé plus haut se précise: Toute planète finit par adopter une température tel que la puissance reçue au sol par le soleil équivaut à la puissance rayonnée par sa propre surface, $\sigma T^{4}_{sol}$.

Un soleil rayonnant

Pour déterminer la puissance éclairée que la terre reçoit du soleil, on doit d’abord déterminer la puissance totale (dans toutes directions) émises par la surface du soleil: la loi de Stefan-Boltzmann $I = \sigma T^{4}$ est utilisée avec la température de la surface (5780K) et la puissance, calculée avec la superficie totale du soleil.

Ensuite, il faut établir que la fraction $f$ qui atteint la terre de cette puissance est la même que le ratio entre la superficie sous-tendue par la terre et la superficie d’une grande sphère dont le rayon est la position de la terre.

On obtient les résultats suivants: $I_{Sol}=6.11 \times 10^{7} W/m^{2}$, $P_{Sol}=3.76 \times 10^{26} W$, $f = 4.45 \times 10^{-10}$ et $P_{T}=1.7 \times 10^{17} W$ .

Albedo VO5

Pour déterminer l’éclairement moyen au sol, il faut considérer que 30% des rayons solaires sont réfléchis: on dira que la Terre possède un albedo $a=0.3$.

Il faut également utiliser la surface de la sphère $4 \pi r^{2}_{T}$ pour déterminer l’éclairement moyen $I_{in}$ au sol (cf Murphy):

Éclairement moyen au sol =

On calcule:

Remplissons maintenant la piscine: à l’équilibre, la Terre adopte donc une température $T$ tel que la puissance reçue au sol par le soleil équivaut à la puissance rayonnée par sa propre surface, $\sigma T^{4}$ (on choisit plutôt la valeur admise de $240 W/m^{2}$).

Isolez $T$ qui sera en $K$… pour obtenir les degrés C, on fait $K - 273$. Quelle est la température a l’équilibre de la terre?…

Ère de glace et fait de serre

Vous obtenez une température moyenne de -18 C ! À cette température , aucune vie n’aurait été possible. La moyenne est plutôt de +15C…

Il faut donc un phénomène qui nous réchauffe un peu,

Ce phénomène qui nous sauve est l’effet de serre : certains gaz dans l’atmosphère sont transparents au visible (qui vient du soleil) mais opaques aux infrarouges thermiques émis par le sol. Ces gaz réémettent vers le sol une partie des IR qui autrement continueraient vers l’espace.

Un extrait vidéo illustre le phénomène: Bilan thermique de la terre - YouTube.

Cet effet nous sert bien, la sphère sait y faire!

On introduit une couche transparente au visible (qui compose principalement le 240 $W/m^{2}$) mais opaque aux IR. Cette couche gazeuse composée de gas à effet de serre (vapeur d’eau, CO2 etc…) doit également être en équilibre thermique avec son environnement. Cette couche se réchauffe et réémet elle aussi, dans les deux directions: x vers le sol et x vers l’espace; le sol émet y $W/m^{2}$ qui sont absorbés par l’atmosphère:

les bilans énergétiques doivent balancer et pour la Terre et pour l’atmosphère: l’énergie qui sort doit auparavant rentrer. On a donc pour l’atmosphère $2x = y$ et pour le sol $y = x + 240$ .

Laisse faire…

Une fois résolu pour y on a y = 480 $W/m^{2}$. Cette nouvelle Intensité correspond à T=?

$480 = \sigma T^{4}$

$T = 303K$

Trop chaud +30C!

Un corps pas vraiment noir

Il faut corriger en tenant compte que l’atmosphère n’est pas à 100% absorbante en IR et qu’elle n’émet pas non plus à 100% comme un corps noir. On corrige en introduisant l’émissivité $\epsilon$ qui vaut ici 0.77 pour l’atmosphère

Les bilans (sortant = entrant) deviennent pour l’atmosphère et la terre respectivement:

une fois résolus…

Équilibre atteint

on trouve x = 195 et y = 390 $W/m^{2}$:

L’émitance du sol (y) est

D’où $T=288K=15C$, ce qui correspond à la valeur observée. Ce modèle est évidemment sur-simplifié mais il illustre les mécanisme physiques fondamentaux qui déterminent l’état du climat terrestre. EEI